घन और घनाभ
नोट -एक घन में सदैव-
कोनो संख्या – 8
किनारों की संख्या – 12
फलको की संख्या – 6
एक घन या घनाभ को छोटे-छोटे समान घनों/घनाभों में काटने के बाद उसके विभिन्न भागों पर स्थित घनों/ घनाभों की पहचान
(Identification
of Different Parts of a Solid Cube/Cuboid after Cutting into Smaller
Cube/Cuboid of Equal Size)
एक घन या घनाभ को छोटे-छोटे समान घनों घनाभों में काटने के बाद उसके विभिन्न भागों पर स्थित घनों/घनाभों की पहचान निम्न प्रकार से की जा सकती है-
(i) शीर्ष
घन (Corner cube) - ऐसे घन प्रत्येक शीर्ष (corner) पर स्थित होते हैं। प्रत्येक
घन या घनाभ के लिए इनकी संख्या सदैव आठ होती है; क्योंकि किसी भी घन या घनाभ में आठ
कोने या शीर्ष होते हैं। इन्हें उपरोक्त आकृतियों में s के द्वारा दर्शाया गया है।
एक बड़ा घन विभाजन के बाद n बराबर घनों में विभक्त हो तो विभाजन के बाद
शीर्ष
घनों
की
संख्या =8
(ii) मध्य
घन (Middle cube)- ऐसे घन प्रत्येक किनारे (edge) के ठीक मध्य में स्थित होते
हैं। इन्हें उपरोक्त आकृतियों में M के द्वारा दर्शाया गया है।
एक बड़ा घन विभाजन के बाद n बराबर घनों में विभक्त हो तो विभाजन के बाद
मध्य
घनों
की
संख्या
= 12 (n-2)
(iii) केन्द्रीय घन -(Central cube) ऐसे घन प्रत्येक फलक
(सतह) के ठीक केन्द्र पर स्थित
होते हैं। इन्हें उपरोक्त आकृति में C के द्वारा दर्शाया गया है।
एक बड़ा घन विभाजन के बाद n बराबर घनों में विभक्त हो तो विभाजन के बाद
केन्द्रीय
घनों
की
संख्या = 6 (n - 2)2
(iv) अंतःकेन्द्रीय घन (Inner central
cube) -ऐसे घन प्रत्येक फलक
(सतह) के केन्द्रीय घन से अन्दर की ओर मध्य में स्थित होते हैं। इन्हें
न्यूक्लियस क्यूब (nucleus cube) भी कहते हैं। एक बड़ा घन विभाजन के बाद n
बराबर घनों में विभक्त हो तो विभाजन के बाद अंत:केन्द्रीय घनों की संख्या = (n-2)3
उपरोक्त बातों को निम्न उदाहरण द्वारा और स्पष्ट किया गया है-
माना 3 सेमी भुजा वाले किसी घन को 1 सेमी भुजा वाले घनों में विभाजित किया जाये तो
(i) घन की प्रत्येक भुजा
(या कोर)
=बड़े घन की भुजा/ छोटे घन की भुजा
= 3 / 1 = 3
(ii) कुल छोटे घनों की संख्या
= (n) = (3)3 = 27
(iii) शीर्ष घनों की संख्या
=8
(iv) मध्य घनों की संख्या
= 12(n-2) = 12(3-2)
=12x1= 12
(v) केन्द्रीय घनों की संख्या
= 6 (n - 2)2 = 6 (3-2)2
=6x (1) =6x1=6
(vi) अंत:केन्द्रीय घनों की संख्या
= (n-2)3 = (3-2)3 = 1
रंग
के
आधार
पर
घनों
की
पहचान
(Identification of Cubes on the Basis of Colour)
रंग के आधार पर घनों की पहचान निम्न प्रकार से की जा सकती है-
(i) शीर्ष
घन (Corner cube)- ऐसे घन प्रत्येक शीर्ष (कोने)
पर स्थित होते हैं। प्रत्येक घन
में इनकी संख्या सदैव आठ होती है।
। इनकी केवल 3 सतह रँगी होती हैं।
(ii) मध्य
घन
(Middle cube) ऐसे घन प्रत्येक किनारे (Edge) के ठीक मध्य में स्थित होते
हैं। इनकी संख्या 12 (n -2) होती है।
- इनकी केवल 2
सतह रंगी होती हैं।
(iii) केन्द्रीय घन (Central cube) ऐसे घन प्रत्येक सतह के ठीक केन्द्र पर स्थित होते हैं।
इनकी संख्या 6 (n -2)2 होती है।
- इनकी केवल 1
सतह रंगी होती हैं।
(iv) अन्तःकेन्द्रीय घन (Inner central cube) ऐसे घन प्रत्येक सतह के केन्द्रीय घन से
अन्दर की ओर मध्य में स्थित होते हैं। इनकी संख्या ( n -2 )3
होती है
- इनकी एक भी सतह रँगी हुई नहीं होती है।
जब घन को एक ही रँग से रँगा गया हो -
Examples- किसी घन की सभी सतहों को
एक समान रंग से रंगा गया है तथा उसे इस प्रकार काटा गया है की 125 छोटे- छोटे एवं
बराबर घन बन सके
यहाँ प्रयेक छोटे घनों के
भुजा की लम्बाई n = 5 यूनिट
1. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिनकी तीनो सतह रंगी होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी तीनो सतह रँगी हुयी होती है वे शीर्ष घन
होते है तब घनों की संख्या = 8
2. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिनकी दो सतह रंगीन होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी दो सतह रँगी हुयी हो वे मध्य घन होते है
तब तब घनो के संख्या = 12 ( n – 2 ) = 12 ( 5-2 ) = 12 * 3= 36
3. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिनकी केवल एक सतह रंगीन होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी एक
सतह रँगी हुयी हो वे केन्द्रीय घन
होते है तब तब घनो के संख्या = 6 ( n – 2 )2 = 6 ( 5 – 2 )2 =
6 (3)2 = 6 * 9 = 54
4. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिसकी सतह रंगहीन होगीं ?
solve - ऐसे घन जिनकी
सतह रंगहीन हो वे अन्तः केन्द्रीय घन होते है तब तब घनो के संख्या= ( n – 2 )3
= ( 5 – 2 ) 3 = 33
= 27
Examples- एक 3 सेमी के
ठोस घन की सभी सतहों को लाल रंग से रँग दिया गया है और इसके बाद इसे काटकर 1 सेमी आकार
वाले छोटे- छोटे घनों में परिवर्तित कर दिया
गया है तब
यहाँ प्रयेक छोटे घनों के
भुजा की लम्बाई n = 3 cm / 1 cm = 3 यूनिट
1. ऐसे घनों की संख्या
कितनी होगी जिनकी तीनो सतह रंगी होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी तीनो सतह रँगी हुयी होती है वे शीर्ष घन
होते है तब घनों की संख्या = 8
2. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिनकी दो सतह रंगीन होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी दो सतह रँगी हुयी हो वे मध्य घन होते है
तब तब घनो के संख्या = 12 ( n – 2 ) = 12 ( 3 -2 ) = 12 * 1= 12
3. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिनकी केवल एक सतह रंगीन होगी ?
solve - ऐसे घन जिनकी एक
सतह रँगी हुयी हो वे केन्द्रीय घन
होते है तब तब घनो के संख्या = 6 ( n – 2 )2 = 6 ( 3 – 2 )2 =
6 (1)2 = 6 *1 = 6
4. ऐसे घनों की संख्या कितनी
होगी जिसकी सतह रंगहीन होगीं ?
solve - ऐसे घन जिनकी
सतह रंगहीन हो वे अन्तः केन्द्रीय घन होते है तब तब घनो के संख्या= ( n – 2 )3
= ( 3 – 2 ) 3 = 13
= 1
जब घन को भिन्न-
भिन्न रँग से रँगा गया हो –
नोट- जब पूछा जाये की दो रंगों
से रंगे घन तो सम्पर्कित किनारे क्या करे ( Requirement के अनुसार )
अभीष्ट फार्मूला = सम्पर्कित किनारे * (n – 2 )
जब पूछा
जाये की एक रँग से रेंज घन तो फलक ज्ञात करे ( Requirement के अनुसार )
अभीष्ट फार्मूला = सम्पर्कित किनारे * (n – 2 )3
Examples- एक ठोस घन की
चार सतहों को पीले रंग से तथा दो विपरीत सतहों को लाल रंगों से रँग से रँगकर इसे
64 छोटे-छोटे घनों में कटा गया है |
1. कितने ऐसे घन है जिनकी
सतहों को लाल रँग से रँगा गया है ?
solve – कुल लाल सतहें =
2
घन के प्रत्येक सतहे या
फलक पर बनने वाले घनो की संख्या = n2
अतः दो फलको पर बनने वाले
घनों की संख्या = 42 + 42
= 16 + 16 = 32
2. ऐसे कितने घन है जिनकी
केवल एक सतह रँगी हुई है वह भी पीले रँग से ?
solve – कुल पीले फलक = 4
केवल एक सतह रँगी हुयी का
मतलब है की घन केन्द्रीय होगा तब ऐसे घनो की संख्या
= 4 ( n – 2 )2 =
4 ( 4 – 2 )2 = 4 * 4 = 16
3. ऐसे कितने घन है जिनकी
केवल एक सतह रँगी है वह भी लाल रँग से ?:
solve – कुल लाल सतहे = 2
केवल एक सतह रँगी हुयी का
मतलब है की घन केन्द्रीय होगा तब ऐसे घनो की संख्या
= 2 ( n – 2 )2
= 2 ( 4 – 2 )2 = 2 * 4 = 8
4. ऐसे कितने घन है जिनकी कम से कम एक सतह पीले
रँग से रँगी हुयी है ?
कम से कम एक सतह पीले रँग
से रँगी हुयी का मतलब है की –
तीनो सतह पीले रँग से
रँगी हो + दो सतह पीले रँग से रँगी हो ( yellow with yellow ,yellow with red ,yellow with yellow ) + एक सतह पीले रँग
से रँगी हो
=8 + 12 ( n – 2 ) + 4 (
n – 2 )2
=8 + 12 ( 4 – 2 ) + 4 (
4 – 2 )2
=8 + 12* 2 + 4 * 22
=8 + 24 + 16
= 48
5. ऐसे कितने घन है जिनकी
तीनों सतहें पीले रँग से रँगी हुयी है ?
Solve - ऐसा होना संभव नहीं
है क्योकि ऐसा तभी हो सकता जब पूरा घन एक
रँग से रँगा हो
अतः घनो की संख्या = 0
Examples-एक ठोस घन की
सभी सतहों को लाल रँग से रँग दिया गया है एवं इसके बाद इसे काटकर 64 बराबर माप वाले
छोटे- छोटे घनों में पर्वर्तीत कर दिया गया है |
1. कितने ऐसे घन है जिनकी
तीन सतह रँगी हुयी है ?
solve- ऐसे घन जिनकी तीनो
सतह रँगी हो वे शीर्ष घन होते है अतः
अभीष्ट घनो की संख्या = 8
2. कितने ऐसे घन है जिनकी
जिनकी कोई भी सतह रँगी हुयी नहीं है ?
solve – ऐसे घन जिनकी कोई
भी सतह रँगी हुयी नहीं हो वे अन्तः केन्द्रीय घन होते है अतः
अभीष्ट घनो की संख्या = (
n – 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8
3. कितने ऐसे घन है जिनकी
जिनकी दो विपरीत सतहे लाल रँग से रँगी हुयी है ?
solve – ऐसा संभव नहीं है
केवल अगल – बगल वाले सतहे रँगी हुयी मिलेगी लेकिन विपिरित है अतः
अभीष्ट घनो की संख्या = 0
4. कितने ऐसे घन है जिनकी
केवल एक सतह रँगी हुयी है ?
solve - ऐसे घन जिनकी एक
सतह रँगी हुयी हो वे केन्द्रीय घन
होते है तब तब घनो के संख्या = 6 ( n – 2 )2 = 6 ( 4 – 2 )2 =
6 (2)2 = 6 * 4 = 24
5.ऐसे कितने घन है ,
जिनकी दो निकटवर्ती सतहे लाल रँग से तथा शेष बगैर रँगी हुयी है ?
solve- ऐसा केवल कोनो पर
होता है अतः मध्य घनो की संख्या = 12 ( n – 2 ) = 12 ( 4 -2 ) = 12 * 2 = 24
Examples- एक 16 सेमी माप
वाले ठोस घन की दो विपरीत सतहों को लाल रँग से , दो विपरीत सतहों को हरे रँग से
तथा शेष को नीले रँग से रँगा गया है एवं इसके बाद इसे काटकर 4 सेमी माप वाले छोटे-
छोटे घनो में परवर्तित कर दिया गया है तो
1. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी तीन सतह नीले, हरे, एवं लाल रँग से रँगी है ?
solve – तीनो सतह रँगी
हुयी है अतः घन शीर्ष घन होगा तब घनो की संख्या = 8
2. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी कोई भी सतह रँगी नहीं है ?
solve – ऐसे घन जिसकी कोई
भी सतह नहीं रँगी हुयी है वे अन्तः केंद्रीय घन होते है तब घनो की संख्या = ( n –
2 )3 = ( 4- 2)3
= 23 = 8
3. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी केवल दो सतहे रँगी है
solve – ऐसे घन जिनकी
केवल दो सतह रँगी हुयी हो मध्य घन होते है तब अभीष्ट घनो की संख्या = 12 ( n – 2 )
= 12 ( 4 – 2 ) =12 * 2 = 24
4. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी केवल एक सतह रँगी हुयी है ?
Solve- ऐसे घन जिनकी केवल एक सतह रँगी हुयी हो वे केन्द्रीय घन
होते है तब अभीष्ट घनो की संख्या = 6( n – 2 )2 = 6 ( 4 – 2 )2 = 6 * 4 = 24
5. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी तीन सतह रँगी हुयी है ?
solve – अभीष्ट शीर्ष घन =
8
Examples—एक 6 सेमी से
ठोस घन को विपरीत सतहों को लाल रँग से , दो विपरीत सतहों को नीले रँग से तथा शेष
सतहों को काले रँग से रँग दिया गया है | इसके बाद इसे छोटे- छोटे 1 सेमी के ठोस घन
में काटा गया है |
1. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी कोई भी सतह रँगी हुई नहीं है ?
solve - अभीष्ट अन्तः
केन्द्रीय घन = = ( n – 2 )3 = = (
6 – 2 ) 3 = ( 4 )3
= 64
2. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी केवल एक सतह रँगी हुयी है ?
solve - अभीष्ट केन्द्रीय
घन = 6 ( n – 2 )2 = 6 ( 6 – 2 )2 = 6 * 16 = 96
3 ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी केवल दो सतह रँगी हुयी है ?
solve - अभीष्ट केन्द्रीय
घन = 12 ( n – 2 ) = 12 ( 6 -2 ) = 12 * 4 = 48
4. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी जिनकी तीन सतह रँगी हुई है ?
solve - अभीष्ट शीर्ष घनो
की संख्या = 8
5. ऐसे कुल कितने घन है जिनकी केवल दो सतह रँगी हुयी है वह भी लाल और काले रँग से ?
ऐसी स्तिथि में किनारे जो
की लाल व् काले से संपर्क में हो = 4
solve - अभीष्ट घनों की
संख्या = 4 ( n – 2 ) = 4 ( 4 – 2 ) = 4 * 2 = 8
6 ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी केवल एक सतह रँगी हुयी है वह भी लाल रँगी से ?
solve – लाल फलको या
सतहों की संख्या = 2
अतः अभीष्ट घनो की संख्या
= 2( n – 2 )2 = 2 ( 6 -2 )2 = 2 * 42 = 2 * 16 = 32
7. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी दो सतह काले रँग से रँगी हुयी है ?
solve - ऐसा संभव नहीं है
केवल अगल – बगल वाले सतहे रँगी हुयी मिलेगी लेकिन विपिरित है अतः
अभीष्ट घनो की संख्या = 0
8. ऐसे कुल कितने घन है
जिनकी एक सतह नीले रँग से तथा दूसरी लाल रँग से रँगी हुयी है [ अन्य सतह रँगी हुयी
या विना रँगी हुयी हो सकती है ] ?
solve- ऐसे घन जिनकी एक
सतह नीले रँग से तथा दूसरी लाल रँग से अभीष्ट घन = 4 ( n – 2 ) = 4 ( 6- 2 ) = 4 *
4 = 16
तथा ऐसे घन जिनकी एक सतह
नीले दूसरी सतह लाल तथा तीसरी सतह अन्य रँग हो तब = 8 ( शीर्ष घन )
अभीष्ट घन = 16 + 8 = 24